Bab 3. Gaya-Gaya Dalam

Bab 3. Gaya-Gaya Dalam

3.1. Pendahuluan

Gaya Dalam adalah gaya yang menahan gaya rambat pada konstruksi untuk mencapai keseimbangan. Misal suatu balok dijepit diujung atasnya dan dibebani oleh gaya P (gb. 3.1) searah sumbu balok, maka balok tersebut dipastikan timbul gaya dalam. Gaya dalam yang mengimbangi gaya aksi (beban) bekerja sepanjang sumbu batang, sama besar, dan berlawanan arah dengan gaya aksi. Gaya dalam tersebut dinamakan gaya normal, dan dinyatakan sebagai N_X bila gaya normal terletak di titik berjarak X dari B.

Gambar 3.1. Gaya Normal bekerja sepanjang sumbu batang

Bila terdapat beban dengan arah tegak lurus terhadap sumbu batang (gb. 3.2), maka akan timbul gaya (P`) dan momen (M`) pada jarak X dari titik B.

Gambar 3.2. Gaya Lintang dan Momen Lentur pada jarak X dari B.

Gaya dalam yang menahan aksi P` dan momen M` adalah L_X dan M_X. Gaya dalam yang tegak lurus terhadap sumbu batang dinamakan Gaya Lintang/Geser (Shear Force) diberi notasi L_X dan momen yang mendukung lentur dinamakan Momen Lentur/Lengkung (Bending Moment) bernotasi M_X.

3.1.1. Perjanjian Tanda Gaya Dalam.

Gaya normal diberi tanda positif (+) apabila gaya cenderung menimbulkan sifat tarik pada batang dan negatif (-) bila gaya cenderung menimbulkan sifat tekan (gb. 3.3.a.). Gaya lintang disebut positif apabila gaya cenderung menimbulkan patah dan searah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya.

Gambar 3.3. Perjanjian tanda gaya-gaya dalam

Momen lentur diberi tanda positif apabila gaya menyebabkan sumbu batang cekung ke atas, dan bila cekung ke bawah diberi tanda negatif.

3.2. Perhitungan Gaya Dalam.

3.2.1. Gaya Dalam pada Kantilever

3.2.1.1. Gaya Dalam pada Kantilever dengan Beban Terpusat

Misal sebuah kantilever mendapat beban P₁ = 10 ton dengan tg q = 4/3 pada titik A, dan P₂ = 12 ton pada titik C, seperti gambar 3.4. Tentukan besarnya gaya normal, gaya lintang dan momen lentur dititik I dan II.

Langkah 1.

Mencari keseimbangan gaya luar. P₁ diuraikan menjadi X₁ = P cos q = 10 x 3/5 = 6 ton dan Y₁ = P sin q = 10 x 4/5 = 8 ton, sehingga didapat reaksi

H_B = 6 ton (¬), V_B = 20 ton (­), dan M_B = 96 Tm.

Gambar 3.4. Kantilever dengan beban miring P₁ dan P₂

Langkah 2.

Mencari keseimbangan gaya dalam. Kita lihat pada titik I, dengan menganggap A-I sebagai freebody yang seimbang, maka akan tampak gaya-gaya dalam yang harus mengimbangi gaya luar (lihat gambar 3.5).

Gambar 3.5. Keseimbangan gaya dalam pada batang A-I

Dengan persamaan statik tertentu dapat dihitung:

S H = 0 ® - 6 + N_I = 0 ® N_I = 6 Ton

S V = 0 ® - 8 + L_I = 0 ® L_I = 8 Ton

S M_I = 0 ® - 8 . 1 + M_I = 0 ® M_I = 8 Tm

Mengingat tanda gaya dalam sesuai perjanjian maka hasil hitungan perlu dicermati: N_I­ = - 6 Ton, L_I = - 8 Ton, dan M_I = - 8 Tm

Begitu juga dengan titik II, dimana A-II dianggap freebody, maka akan tampak gaya-gaya dalam yang mengimbangi gaya luar (lihat gambar 3.6).

Dengan persamaan statik tertentu dapat dihitung:

S H = 0 ® 6 + N_II = 0 ® N_II = - 6 Ton

S V = 0 ® - 8 – 12 - L_II = 0 ® L_II = - 20 Ton

S M_I = 0 ® - 8 . 4 – 12 . 2 - M_II = 0 ® M_II = - 56 Tm

Gambar 3.6. Keseimbangan gaya dalam pada batang A-II

X	Nx	Lx	Mx
0	- 6 T	- 8 T	0
1	- 6 T	- 8 T	- 8 Tm
2	- 6 T	- 8 T	- 16 Tm
2

3.2.1.2. Gaya Dalam pada Kantilever dengan Beban Terbagi Merata

Bila beban merupakan terbagi rata, perlu diperhatikan bahwa gaya lintang dan momen lentur pada batang akan tergantung dari jarak beban terhadap titik tumpuan.

Gambar 3.7. Kantilever dengan beban terbagi merata

Gaya luar dari batang pada gambar 3.7 diperoleh: H_B = 0, V_B = q . 4 = 10 . 4 = 40 Ton, dan M_B = (q . 4) (2 + 2) = (10 . 4) 4 = 160 Tm. Bila terdapat elemen kecil beban q . dx pada jarak x dari A, maka pada titik C akan mendapat reaksi gaya lintang dL = q . dx dan momen lentur dM = (q . dx) . x (gambar. 3.8). Dengan memperhatikan hal tersebut dapat disimpulkan sbb:

 dan

Gambar 3.8. Keseimbangan gaya dalam pada titik C

-          Nilai L tergantung jarak dari A ke C, misal pada jarak 1 m, maka nilai L = -10 T, sedang jarak 2 m ® L = -20 T dan pada jarak 4 m ® L_C = -40 T, sehingga nilai gaya lintang L semakin jauh jarak dari A semakin besar nilai (negatif) L, namun perlu diingat nilai V_B = nilai L_C, sehingga gaya dalam pada batang CB sebesar L_C.

-          Untuk nilai M, jarak selain mempengaruhi besar beban (q.x) juga mempengaruhi letak resultan beban (½ x), sehingga misal pada jarak 1 m, maka M = -5 Tm, pada jarak 4 m ® M_C = -80 Tm. Nilai M_C tidak sama dengan nilai M_B, berarti pada CB akan mendapat momen lentur yang berbeda. Untuk batang CB, M = (q . AC) (½ AC + x) dimana x adalah jarak titik pada batang CB, sehingga diperoleh M = (-10 . 4) (2 + x) = -80 - 40.x. misal pada jarak 1 m, maka M = - 80 - 40 = -120 Tm, dan pada jarak 2 m, maka M_B = - 80 - 80 = -160 Tm.

3.2.1.3. Gaya Dalam pada Kantilever dengan Beban Momen

Bila beban merupakan momen, seperti gambar 3.9 dibawah ini:

Gambar 3.9. Kantilever dengan beban momen

Maka gaya dalam yang ada hanya momen lentur bernilai negatif (batang cekung ke bawah).

3.2.2. Gaya Dalam pada Balok Sederhana

3.2.2.1. Gaya Dalam pada Balok Sederhana dengan Beban Terpusat

Pada suatu konstruksi balok sederhana seperti gambar dibawah ini:

Gambar 3.10. Konstruksi balok sederhana

Dari keseimbangan gaya luar didapat V_A = (4/10) x 2 = 0,8 T, dan V_B = (6/10) x 2 = 1,2 T. Gaya dalam akan ditinjau pada titik P berada, serta AP dan PB dianggap sebagai freebody (lihat gambar. 3.11).

Keseimbangan gaya dalam, (ditinjau dari A ke B):

Untuk 0 £ x £ 6, M_X = V_A . x = 0.8 . x, dan L_A = V_A

Untuk 6 £ x £ 10, M_X = V_B . (10 – x) = 1,2 . (10 – x) dan L_B = - V_B 

Sehingga didapat L_A = 0,8 T dan L_B = -1,2 T dan pada titik P gaya lintang yang terjadi adalah (L_A + L_B­) = (0,8 – 1,2) = -0,4 T.

Gambar 3.11. Gaya dalam pada titik pembebanan

Untuk momen lentur didapat: pada jarak 0 (titik A) M₀ = 0, jarak 6, M₆ = 0,8 x 6 = 4,8 Tm, atau M₆ = 1,2 (10 – 6) = 1,2 (4) = 4,8 Tm, dan pada jarak 10, M₁₀ = 1,2 (10 – 10) = 0

3.2.2.2. Gaya Dalam pada Balok Sederhana dengan Beban Terbagi Merata

Bila beban pada balok sederhana berupa beban terbagi merata yang berada ditengah-tengah konstruksi (gambar 3.12), maka perlu membagi balok tersebut menjadi 3 bagian, untuk ditinjau gaya-gaya dalamnya.

Gambar 3.12. Balok sederhana dengan beban terbagi merata

Dari keseimbangan gaya luar diperoleh:

S M_B = 0 ® V_A . 10 – (q . 4) . (2 + 3) = 0, ® V_A = ((2 . 4) . 5)/10 = 4 T

S M_A = 0 ® (q . 4) . (2 + 3) - V_B . 10 = 0, ® V_B = ((2 . 4) . 5)/10 = 4 T

Keseimbangan gaya dalam (ditinjau dari titik A) lihat gambar 3.13:

Untuk 0 £ x £ 3, M_X = V_A . x dan L_X = V_A ® L_A = V_A = L_C

M₀ = 0, M₃ = 4 . 3 = 12 Tm dan L₀ = 4 T dan L₃ = 4 T

Gambar 3.13. Gaya-gaya dalam yang terjadi pada balok

Untuk 3 £ x £ 7, M_X = V_A . x – (q . (x – 3)) . ½ (x – 3) dan L_X = V_A – q (x – 3)

M₃ = 4 . 3 – 0 = 12 Tm, M₅ = 4 . 5 – (2. 2) . ½ (2) = 16 Tm, dan M₇ = 4.7 – (2 . 4) . ½ (4) = 12 Tm, dan L₃ = 4 – 0 = 4 T, L₅ = 4 – 2(2) = 0, L₇ = 4 – 2(4) = - 4 T.

Untuk 7 £ x £ 10, M_X = -V_B . (x – 10) dan L_X = - V_B ® L_B = - V_B = L_D

M₇ = - 4 (7 – 10) = 12 Tm, M₁₀ = - 4 (0) = 0, dan L₇ = - 4 T dan L₁₀ = - 4 T.

Jadi pada titik berjarak 5 m dari A (= ½ L), gaya lintang = 0 dan momen lentur menjadi maksimum.

Yang perlu diperhatikan adalah persamaan diatas, dimana terdapat persamaan garis linier (gaya lintang) dan persamaan garis eksponensial (parabola) (momen).

3.2.2.3. Gaya Dalam pada Balok Sederhana dengan Beban Momen

Balok sederhana dengan beban momen seperti gambar 3.14.

Gambar 3.14. Balok  dengan beban momen

Dari keseimbangan luar didapat V_A = - M/L = M/L (¯) = 1 T, V_B = M/L = 1 T

Keseimbangan dalam:

0 £ x £ 6, M_X = V_A . x dan L_X = V_A

M₀ = 0, M₆ = -1 . 6 = - 6 Tm, dan L₀ = -1 T, L₆ = -1 T

6 £ x £ 10, M_X = V_B . (10 – x) dan L_X = - V_B

M₆ = 1 (10 – 6) = 4 Tm, M₁₀ = 1 (0) = 0, dan L₆ = - 1 T, L₁₀ = - 1 T

3.2.2.4. Gaya Dalam pada Balok Sederhana Berpinggul dengan Beban Terpusat

Balok sederhana berpinggul dengan beban terpusat P, seperti gambar 3.15.

Gambar 3.15. Balok pinggul dengan beban terpusat

Keseimbangan luar:

V_A = - (2/10) . P = - 0,8 T dan V_B = ((10 + 2)/10) . P = 4,8 T

Keseimbangan dalam:

0 £ x £ 10, M_X = V_A . x dan L_X = V_A

M₀ = - 0,8 . 0 = 0, M₁₀ = - 0,8 . 10 = - 8 Tm, dan L₀ = - 0,8 T, L₁₀ = - 0,8 T

10 £ x £ 12, M_X = P . (x – 12) dan L_X = P

M_10­ = 4 (10 – 12) = - 8 Tm, M₁₂ = 0, dan L₁₀ = 4 T, L₁₂ = 4 T

3.2.2.5. Gaya Dalam pada Balok Sederhana Berpinggul dengan Beban Terbagi Merata

Gambar 3.16 memperlihatkan balok pinggul dengan beban terbagi merata

Keseimbangan luar:

 dan

Gambar 3.16. Balok berpinggul dengan beban terbagi merata

Keseimbangan dalam:

0 £ x £ 6, M_X = V_A . x dan L_X = V_A

M₀ = 1,2 . 0 = 0, M₆ = 1,2 . 6 = 7,2 Tm dan L₀ = 1,2 T, L₆ = 1,2 T

6 £ x £ 10, M_X = V_A . x – (q/2)(x - 6)² dan L_X = V_A – q (x – 6)

M₆ = 1,2 . 6 – (2/2) (6 – 6)² = 7,2 Tm, M₈ = 1,2 . 8 – (2/2) (8 – 6)² = 5,6 Tm,

M₁₀ = 1,2 . 10 – (2/2) (10 – 6)² = - 4 Tm, dan L₆ = 1,2 – 2 (6 – 6) = 1,2 T, L₇ = 1,2 – 2 (7 – 6) = - 0,8 T, L₁₀ = 1,2 – 2 (10 – 6) = - 6,8 T

10 £ x £ 12, M_X =  – (q/2)(12 - x)² dan L_X = q/2 . (12 – x)

M₁₀ = - (2/2) (12 – 10)² = - 4 Tm, M₁₂ = - (2/2) (12 – 12)² = 0, dan L₁₀ = (2/2) . (12 – 10) = 2 T, L₁₂ = (2/2) (12 – 12) = 0

3.2.2.6. Gaya Dalam pada Balok Sederhana Berpinggul dengan Beban Momen

Bila beban berupa momen pada balok berpinggul (gambar 3.17)

Gambar 3.17. Balok berpinggul dengan beban momen

Keseimbangan luar:

V_A = - M/L = - 24/10 = - 2,4 T, dan V_B = M/L = 24/10 = 2,4 T

Keseimbangan dalam:

0 £ x £ 10, M_X = V_A . x dan L_X = V_A

M₀ = 2,4 . 0 = 0, M₁₀ = 2,4 . 10 = 24 Tm, dan L₀ = L₆ = 2,4 T

10 £ x £ 12, M_X =  – M dan L_X = 0

M₁₀ = - 24 Tm = M₁₂ dan L₁₀ = L₁₂ = 0

3.3. Soal-Soal

1. Tentukan Gaya-gaya dalam dari kantilever dibawah ini:

2. Tentukan Gaya-gaya dalam dari balok sederhana dibawah ini:

3. Tentukan Gaya-gaya dalam dari balok sederhana berpinggul ini:

Share